lunes, 28 de marzo de 2011
viernes, 18 de marzo de 2011
Concurso de problemas
Hoy se ha puesto en marcha en la Facultad de Matemáticas, un concurso de resolución de problemas dirigido a alumnos de Grados y Licenciaturas de la Universidad de Murcia. En la siguiente dirección podéis encontrar hoja de inscripción, las bases, el cartel y la primera propuesta de problemas.
http://www.um.es/fmath/doku.php?id=concurso_problemas
Os animo a participar, puede ser un "juego" entretenido.
miércoles, 16 de marzo de 2011
Félix Hausdorff (1868-1942)
Hace unos días hemos estudiado el teorema de Haussdorff. Quiero rendirle un pequeño homenaje. Es si duda uno de los padres de la Topología, sus trabajos constituyeron una aportación imprescindible para que, en el primer cuarto del siglo XX, la Topología se consolidara como una importante y nueva rama de las Matemáticas.
Por otra parte, además de insigne matemático, también le interesó la literatura y la filosofía. Estudió, entre otros al gran al filósofo Nietzsche y escribió sobre él.
Murió trágicamente el 26 de enero de 1942 suicidándose junto con su esposa y su cuñada tomando una sobredosis de tranquilizantes, a raíz de que, por su procedencia judía, iba a ser recluido en un campo de concentración nazi. El tema del suicidio está presente en la obra de Nietzsche.
Mas información en
Otro problema
Vinculado al problema anterior también surgió la pregunta siguiente. De nuevo en $\mathbb{R}$ con la topología usual. Si una sucesión de números reales tiene alguna, o algunas subsucesiones convergentes, ¿cada límite de una subsucesión es adherente a la sucesión (considerada como un subconjunto de $\mathbb{R}$)?
Si alguien tiene una respuesta razonada..., creo que todos le agradeceríamos su publicación.
Si alguien tiene una respuesta razonada..., creo que todos le agradeceríamos su publicación.
Un problema
El lunes pasado, en clase, se planteó el problema siguiente: En $\mathbb{R}$ con la distancia usual. Si una sucesión de números reales es convergente, ¿su límite es un punto adherente a la sucesión? ¿cuál es la adherencia de la sucesión?
¿Alguien lo ha resuelto y quiere escribirlo?
¿Alguien lo ha resuelto y quiere escribirlo?
domingo, 6 de marzo de 2011
Posible errata en el P.1.29
Cuando se define la distancia, dentro del corchete del supremo, parece que falta la letra "x" después de los dos puntos para terminar de construir la oración, "tales que los elementos x pertenezcan al conjunto X"
jueves, 24 de febrero de 2011
Problema P.1.14
Viendo que nadie se arriesga a crear una entrada sobre un ejercicio, procedo a compartir lo que he meditado sobre el P.1.14
Lo que yo he pensado es, que si sabemos que $diam (A) = sup \{d(x,y): x, y \in A\}$, y realizando un pequeño gráfico con x + y = 1, podemos ver que el supremo de las distancias es $\sqrt{2}$. Ahora intento demostrar que es el supremo.
Supongamos que el $sup \{d(x,y): x, y \in A\}$ $<$ $\sqrt{2}$
Tomo que x = ($\varepsilon, 1 - \varepsilon$) e y = ($1 - \varepsilon, \varepsilon$), si tomamos $\varepsilon$ como un numero entre 0 y 1 y x e y pertenecen a A.
$d[(x_{1} , y_{1}),(x_{2},y_{2})]$ = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 +(y_{2}-y_{1})^2}$
Sustituyendo los valores tomados de x e y tomados anteriormente, obtenemos que:
$d[(x_{1} , y_{1}),(x_{2},y_{2})]$ = $\sqrt{2(1-2\varepsilon)^2}$
Como hemos supuesto que $0 < \varepsilon < 1$ , llegamos a que el $diam (A) \ge \sqrt{2}$ por lo que llegamos a una contradicción.
Resumiendo, ahora sé que el $diam (A) = \sqrt{2}$ Mi duda está en que no sé si ahora tendría que demostrar si $diam (A) \le \sqrt{2}$, para ver que es $\sqrt{2}$
No sé ni siquiera si lo pensado está bien pensado, pero pensado está y lo dejo para que cualquiera me pueda ayudar.
Un saludo.
Lo que yo he pensado es, que si sabemos que $diam (A) = sup \{d(x,y): x, y \in A\}$, y realizando un pequeño gráfico con x + y = 1, podemos ver que el supremo de las distancias es $\sqrt{2}$. Ahora intento demostrar que es el supremo.
Supongamos que el $sup \{d(x,y): x, y \in A\}$ $<$ $\sqrt{2}$
Tomo que x = ($\varepsilon, 1 - \varepsilon$) e y = ($1 - \varepsilon, \varepsilon$), si tomamos $\varepsilon$ como un numero entre 0 y 1 y x e y pertenecen a A.
$d[(x_{1} , y_{1}),(x_{2},y_{2})]$ = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 +(y_{2}-y_{1})^2}$
Sustituyendo los valores tomados de x e y tomados anteriormente, obtenemos que:
$d[(x_{1} , y_{1}),(x_{2},y_{2})]$ = $\sqrt{2(1-2\varepsilon)^2}$
Como hemos supuesto que $0 < \varepsilon < 1$ , llegamos a que el $diam (A) \ge \sqrt{2}$ por lo que llegamos a una contradicción.
Resumiendo, ahora sé que el $diam (A) = \sqrt{2}$ Mi duda está en que no sé si ahora tendría que demostrar si $diam (A) \le \sqrt{2}$, para ver que es $\sqrt{2}$
No sé ni siquiera si lo pensado está bien pensado, pero pensado está y lo dejo para que cualquiera me pueda ayudar.
Un saludo.
Problema P1.1.12
En la clase de ayer miércoles, me sorprendió considerablemente que la inmensa mayoría de los alumnos no supiera encontrar el conjunto
$$A=\{\frac{1}{n}+(-1)^n : n\in \mathbb{N}\},$$
de modo que, aunque dedicamos un buen rato a trabajar el problema, he pensado que no estaría mal que se escribiera con detalle.
¿Alguien se anima?
$$A=\{\frac{1}{n}+(-1)^n : n\in \mathbb{N}\},$$
de modo que, aunque dedicamos un buen rato a trabajar el problema, he pensado que no estaría mal que se escribiera con detalle.
¿Alguien se anima?
domingo, 20 de febrero de 2011
Escribir en LaTeX en el blog
En un comentario, alguien decía que no sabía cómo introducir fórmulas con LaTeX. Simplemente hay que escribirlas entre los símbolos $. No se visualiza en vista previa, pero sí cuando se publica la entrada.
sábado, 19 de febrero de 2011
El material
Recuerdo a todos los visitantes y seguidores que el material de la asignatura está disponible en el portal OCW de la Universidad de Murcia, en concreto en
http://ocw.um.es/ciencias/topologia-de-espacios-metricos
http://ocw.um.es/ciencias/topologia-de-espacios-metricos
viernes, 18 de febrero de 2011
El comienzo
El comienzo del prometido blog sobre Topología de Espacios Métricos. Todos podéis hacer comentarios, plantear dudas, aportar soluciones, etc. Se pueden introducir fórmulas en LaTeX o imágenes. Mis comentarios irán en color azul.
Bienvenidos pues. Espero que sirva para mejorar el aprendizaje de esta bonita rama de las Matemáticas.
Bienvenidos pues. Espero que sirva para mejorar el aprendizaje de esta bonita rama de las Matemáticas.
El problema P.1.8
Son varios los alumnos que me han preguntado en clase sobre el problema P.1.8 en su segunda parte. Podemos tomar como referencia el ejemplo Ej.1.13; de modo que podemos identificar $\mathbb{R}^{n-k}$ con $\mathbb{R}^{n-k}\times \{0\}\dots \times \{0\}$ (el $\{0\}$ $k$-veces), mediante la biyección
$$f(x_1,\dots,x_{n-k})=(x_1,\dots,x_{n-k},0,\dots,0)$$ ...
¿Alguien se atreve a terminar?
$$f(x_1,\dots,x_{n-k})=(x_1,\dots,x_{n-k},0,\dots,0)$$ ...
¿Alguien se atreve a terminar?
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