jueves, 24 de febrero de 2011

Problema P.1.14

Viendo que nadie se arriesga a crear una entrada sobre un ejercicio, procedo a compartir lo que he meditado sobre el P.1.14

Lo que yo he pensado es, que si sabemos que $diam (A) = sup \{d(x,y): x, y \in A\}$, y realizando un pequeño gráfico con x + y = 1, podemos ver que el supremo de las distancias es $\sqrt{2}$. Ahora intento demostrar que es el supremo.

Supongamos que el $sup \{d(x,y): x, y \in A\}$ $<$ $\sqrt{2}$
Tomo que x = ($\varepsilon, 1 - \varepsilon$) e y = ($1 - \varepsilon, \varepsilon$), si tomamos $\varepsilon$ como un numero entre 0 y 1 y x e y pertenecen a A.

$d[(x_{1} , y_{1}),(x_{2},y_{2})]$ = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 +(y_{2}-y_{1})^2}$

Sustituyendo los valores tomados de x e y tomados anteriormente, obtenemos que:

$d[(x_{1} , y_{1}),(x_{2},y_{2})]$ = $\sqrt{2(1-2\varepsilon)^2}$

Como hemos supuesto que $0 < \varepsilon < 1$ , llegamos a que el $diam (A) \ge \sqrt{2}$ por lo que llegamos a una contradicción.

Resumiendo, ahora sé que el $diam (A) = \sqrt{2}$ Mi duda está en que no sé si ahora tendría que demostrar si $diam (A) \le \sqrt{2}$, para ver que es $\sqrt{2}$

No sé ni siquiera si lo pensado está bien pensado, pero pensado está y lo dejo para que cualquiera me pueda ayudar.

Un saludo.

Problema P1.1.12

En la clase de ayer miércoles, me sorprendió considerablemente que la inmensa mayoría de los alumnos no supiera encontrar el conjunto

$$A=\{\frac{1}{n}+(-1)^n : n\in \mathbb{N}\},$$

de modo que, aunque dedicamos un buen rato a trabajar el problema, he pensado que no estaría mal que se escribiera con detalle.

¿Alguien se anima?

domingo, 20 de febrero de 2011

Escribir en LaTeX en el blog

En un comentario, alguien decía que no sabía cómo introducir fórmulas con LaTeX. Simplemente hay que escribirlas entre los símbolos $. No se visualiza en vista previa, pero sí cuando se publica la entrada.

sábado, 19 de febrero de 2011

El material

Recuerdo a todos los visitantes y seguidores que el material de la asignatura está disponible en el portal OCW de la Universidad de Murcia, en concreto en

http://ocw.um.es/ciencias/topologia-de-espacios-metricos

viernes, 18 de febrero de 2011

El comienzo

El comienzo del prometido blog sobre Topología de Espacios Métricos. Todos podéis hacer comentarios, plantear dudas, aportar soluciones, etc. Se pueden introducir fórmulas en LaTeX o imágenes. Mis comentarios irán en color azul.

Bienvenidos pues. Espero que sirva para mejorar el aprendizaje de esta bonita rama de las Matemáticas.

El problema P.1.8

Son varios los alumnos que me han preguntado en clase sobre el problema P.1.8 en su segunda parte. Podemos tomar como referencia el ejemplo Ej.1.13; de modo que podemos identificar $\mathbb{R}^{n-k}$ con $\mathbb{R}^{n-k}\times \{0\}\dots \times \{0\}$ (el $\{0\}$ $k$-veces), mediante la biyección
$$f(x_1,\dots,x_{n-k})=(x_1,\dots,x_{n-k},0,\dots,0)$$ ...

¿Alguien se atreve a terminar?