Sobre la equivalencia de las distancias en $\Bbb{R}^n$

El problema P.1.26 del material de clase (http://ocw.um.es/ciencias/topologia-de-espacios-metricos-1), propone que se demuestre que las distancias $d_1$, $d_2$ y $d_\infty$ en $\Bbb{R}^n$ son equivalentes.

Además de la indicación, se puede probar utilizando el Teorema 1.4.3, demostrando previamente

$$d_2(x,y)\leq d_1(x,y)\leq n d_\infty(x,y) \leq n d_2(x,y)$$

¿Alguien se atreve a formalizarlo y escribirlo?

Posible demostración de "otro problema"

Demostración de sucesión cerrada

Concurso de problemas

Hoy se ha puesto en marcha en la Facultad de Matemáticas, un concurso de resolución de problemas dirigido a alumnos de Grados y Licenciaturas de la Universidad de Murcia. En la siguiente dirección podéis encontrar hoja de inscripción, las bases, el cartel y la primera propuesta de problemas.

http://www.um.es/fmath/doku.php?id=concurso_problemas

Os animo a participar, puede ser un "juego" entretenido.

Félix Hausdorff (1868-1942)

Hace unos días hemos estudiado el teorema de Haussdorff. Quiero rendirle un pequeño homenaje. Es si duda uno de los padres de la Topología, sus trabajos constituyeron una aportación imprescindible para que, en el primer cuarto del siglo XX, la Topología se consolidara como una importante y nueva rama de las Matemáticas.

Por otra parte, además de insigne matemático, también le interesó la literatura y la filosofía. Estudió, entre otros al gran al filósofo Nietzsche y escribió sobre él.

Murió trágicamente el 26 de enero de 1942 suicidándose junto con su esposa y su cuñada tomando una sobredosis de tranquilizantes, a raíz de que, por su procedencia judía, iba a ser recluido en un campo de concentración nazi. El tema del suicidio está presente en la obra de Nietzsche.

Mas información en

• http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Hausdorff.html
• http://personal.us.es/arias//TM/06-Hausdorff.pdf (del profesor Juan Arias).
  

Otro problema

Vinculado al problema anterior también surgió la pregunta siguiente. De nuevo en $\mathbb{R}$ con la topología usual. Si una sucesión de números reales tiene alguna, o algunas subsucesiones convergentes, ¿cada límite de una subsucesión es adherente a la sucesión (considerada como un subconjunto de $\mathbb{R}$)?

Si alguien tiene una respuesta razonada..., creo que todos le agradeceríamos su publicación.

Un problema

El lunes pasado, en clase, se planteó el problema siguiente: En $\mathbb{R}$ con la distancia usual. Si una sucesión de números reales es convergente, ¿su límite es un punto adherente a la sucesión? ¿cuál es la adherencia de la sucesión?

¿Alguien lo ha resuelto y quiere escribirlo?