El lunes pasado, en clase, se planteó el problema siguiente: En \mathbb{R} con la distancia usual. Si una sucesión de números reales es convergente, ¿su límite es un punto adherente a la sucesión? ¿cuál es la adherencia de la sucesión?
¿Alguien lo ha resuelto y quiere escribirlo?
Tomemos una sucesión (X_n)_{n \in \mathbb{N}} convergente, por tanto \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty}X_n:=a. Tomemos ahora B(a,r) y comprobemos que B(a,r)\cap (X_n)_{n \in \mathbb{N}} \ne \emptyset.
ResponderEliminarEfectivamente pues por la propiedad arquimediana se tiene que \exists n_\varepsilon \in /X_{n_\varepsilon } \ge X_n\forall n \le {n_\varepsilon } \Rightarrow B(a,r): = (a - r,a + r)\cap X_{n_\varepsilon } \ne \emptyset pues la sucesión converge a a y por tanto ya tenemos que el límite de la sucesión pertenece a la adherencia.
Ahora usemos la propiedad del conjunto adherente de ser el menor conjunto que contiene al conjunto original, según mi hipótesis el conjunto adherente es la sucesión (por definición pertenece a la adherencia) y el límite de la sucesión (como acabo de probar), pues si existiera otro conjunto que no fuera este, que fuera el adherente, tendría que contener al límite de la sucesión y por tanto contendría a mi conjunto, haciendo así que el conjunto propuesto sea el menor que contiene a la sucesión, así nos queda que: {\bar X}_n = X_n \cup\left\{a\right\}
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ResponderEliminarEn la última linea puse lo siguiente:
ResponderEliminar\bar X_n = X_n \cup\{a\}
Muchas gracias, Miguel, por el intento. Te hago algún comentario.
ResponderEliminarEn primer lugar tienes un poco de confusión en la notación y a veces te refieres al conjunto formado por la sucesión, mediante un término, como haces en el último de tus comentarios (el aclaratorio); además haces mención a la propiedad arquimediana que aquí no tiene nada que ver.
Pero, insisto, muchas gracias. Hablaré en clase de este problema a raíz de tu aportación.
¿Alguien ayuda a Miguel a afinar la solución?
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ResponderEliminarVenga, me voy a animar a transcribir lo que hemos sacado hoy en clase. Espero aclararme con el latex, porque me está costando ;)
ResponderEliminarSea \big(x_{n} \big)_{n} una sucesion convergente con \lim_{x \rightarrow \infty }\big(x_{n} \big)_{n} =a
Tenemos que A=\big(x_{n} \big)_{n}= \big\{ x_{1}, x_{2},..., x_{n} \big\}
Y queremos demostrar que si a \in \bar{A}
entonces \forall \varepsilon > 0, B(a, \varepsilon ) \cap \big(x_{n} \big)_{n} \neq \emptyset
es decir, que (a- \varepsilon ,a+ \varepsilon ) \cap \big(x_{n} \big)_{n} \neq \emptyset
Pero por la definicion de limite sabemos que
\lim_{x \rightarrow \infty }\big(x_{n} \big)_{n} =a \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists n_{ \varepsilon } / si (n>n_{ \varepsilon }) \Rightarrow | \big(x_{n} \big)_{n} - a | < \varepsilon
De esta ultima implicacion se tiene que
\big(x_{n} \big)_{n} \in (a- \varepsilon ,a+ \varepsilon ) y por lo tanto a \in \bar{A}
O sea, es un punto adherente.
Ahora hay que probar que no hay más puntos adherentes.
Llamemos B:= (\big(x_{n} \big)_{n} \cup \big\{a\big\} )
supongamos que b \not \in B y además, b \neq a
y supongamos que d(b,a)= \varepsilon>0
Consideremos las bolas
B_{1} (b, \frac{ \varepsilon }{2})=(b-\frac{ \varepsilon }{2},b+\frac{ \varepsilon }{2})
B_{2} (a, \frac{ \varepsilon }{2})=(a-\frac{ \varepsilon }{2},a+\frac{ \varepsilon }{2})
Como "a" es el limite,
\exists n_{ \varepsilon } / si (n>n_{ \varepsilon }) \Rightarrow | \big(x_{n} \big)_{n} - a | < \frac{ \varepsilon }{2}
y por lo tanto
\big(x_{n} \big)_{n} \in (a- \frac{ \varepsilon }{2} ,a+ \frac{ \varepsilon }{2} )
Con lo cual todos los terminos a partir de x_{n} estan dentro de la segunda bola.
y los n-1 terminos anteriores quedan fuera. Pero estos son un conjunto finito, con lo cual puedo tomar
r=min \big\{d(b,x_{i}), i=1,2,...,n-1, d(b,a)/2\big\} \Rightarrow B(b \frac{r}{2}) \cap B= \emptyset
(Esto último lo sabemos por la Propiedad de Hausdorff)
Esto prueba que A es cerrado, con lo cual no tiene más puntos adherentes.
Bueno, en el limite, tengo que corregir que es cuando n tiende a infinito, pero es que ya lo he cambiado muchas veces, y voy a llenar el blog de comentarios borrados jaja
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