El lunes pasado, en clase, se planteó el problema siguiente: En $\mathbb{R}$ con la distancia usual. Si una sucesión de números reales es convergente, ¿su límite es un punto adherente a la sucesión? ¿cuál es la adherencia de la sucesión?
¿Alguien lo ha resuelto y quiere escribirlo?
Tomemos una sucesión $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ convergente, por tanto $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty}X_n:=a$. Tomemos ahora $B(a,r)$ y comprobemos que $B(a,r)\cap (X_n)_{n \in \mathbb{N}} \ne \emptyset$.
ResponderEliminarEfectivamente pues por la propiedad arquimediana se tiene que $\exists n_\varepsilon \in /X_{n_\varepsilon } \ge X_n\forall n \le {n_\varepsilon } \Rightarrow B(a,r): = (a - r,a + r)\cap X_{n_\varepsilon } \ne \emptyset$ pues la sucesión converge a $a$ y por tanto ya tenemos que el límite de la sucesión pertenece a la adherencia.
Ahora usemos la propiedad del conjunto adherente de ser el menor conjunto que contiene al conjunto original, según mi hipótesis el conjunto adherente es la sucesión (por definición pertenece a la adherencia) y el límite de la sucesión (como acabo de probar), pues si existiera otro conjunto que no fuera este, que fuera el adherente, tendría que contener al límite de la sucesión y por tanto contendría a mi conjunto, haciendo así que el conjunto propuesto sea el menor que contiene a la sucesión, así nos queda que: ${\bar X}_n = X_n \cup\left\{a\right\}$
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ResponderEliminarEn la última linea puse lo siguiente:
ResponderEliminar$\bar X_n = X_n \cup\{a\}$
Muchas gracias, Miguel, por el intento. Te hago algún comentario.
ResponderEliminarEn primer lugar tienes un poco de confusión en la notación y a veces te refieres al conjunto formado por la sucesión, mediante un término, como haces en el último de tus comentarios (el aclaratorio); además haces mención a la propiedad arquimediana que aquí no tiene nada que ver.
Pero, insisto, muchas gracias. Hablaré en clase de este problema a raíz de tu aportación.
¿Alguien ayuda a Miguel a afinar la solución?
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ResponderEliminarVenga, me voy a animar a transcribir lo que hemos sacado hoy en clase. Espero aclararme con el latex, porque me está costando ;)
ResponderEliminarSea $\big(x_{n} \big)_{n}$ una sucesion convergente con $\lim_{x \rightarrow \infty }\big(x_{n} \big)_{n} =a$
Tenemos que $A=\big(x_{n} \big)_{n}= \big\{ x_{1}, x_{2},..., x_{n} \big\}$
Y queremos demostrar que si $a \in \bar{A}$
entonces $\forall \varepsilon > 0, B(a, \varepsilon ) \cap \big(x_{n} \big)_{n} \neq \emptyset$
es decir, que $ (a- \varepsilon ,a+ \varepsilon ) \cap \big(x_{n} \big)_{n} \neq \emptyset$
Pero por la definicion de limite sabemos que
$\lim_{x \rightarrow \infty }\big(x_{n} \big)_{n} =a \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists n_{ \varepsilon } / si (n>n_{ \varepsilon }) \Rightarrow | \big(x_{n} \big)_{n} - a | < \varepsilon$
De esta ultima implicacion se tiene que
$\big(x_{n} \big)_{n} \in (a- \varepsilon ,a+ \varepsilon ) $ y por lo tanto a $\in \bar{A}$
O sea, es un punto adherente.
Ahora hay que probar que no hay más puntos adherentes.
Llamemos B:= $ (\big(x_{n} \big)_{n} \cup \big\{a\big\} ) $
supongamos que $b \not \in B$ y además, $b \neq a$
y supongamos que $d(b,a)= \varepsilon>0$
Consideremos las bolas
$B_{1} (b, \frac{ \varepsilon }{2})=(b-\frac{ \varepsilon }{2},b+\frac{ \varepsilon }{2})$
$B_{2} (a, \frac{ \varepsilon }{2})=(a-\frac{ \varepsilon }{2},a+\frac{ \varepsilon }{2})$
Como "a" es el limite,
$\exists n_{ \varepsilon } / si (n>n_{ \varepsilon }) \Rightarrow | \big(x_{n} \big)_{n} - a | < \frac{ \varepsilon }{2}$
y por lo tanto
$\big(x_{n} \big)_{n} \in (a- \frac{ \varepsilon }{2} ,a+ \frac{ \varepsilon }{2} ) $
Con lo cual todos los terminos a partir de $x_{n}$ estan dentro de la segunda bola.
y los n-1 terminos anteriores quedan fuera. Pero estos son un conjunto finito, con lo cual puedo tomar
$r=min \big\{d(b,x_{i}), i=1,2,...,n-1, d(b,a)/2\big\} \Rightarrow
B(b \frac{r}{2}) \cap B= \emptyset $
(Esto último lo sabemos por la Propiedad de Hausdorff)
Esto prueba que A es cerrado, con lo cual no tiene más puntos adherentes.
Bueno, en el limite, tengo que corregir que es cuando n tiende a infinito, pero es que ya lo he cambiado muchas veces, y voy a llenar el blog de comentarios borrados jaja
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