En la clase de ayer miércoles, me sorprendió considerablemente que la inmensa mayoría de los alumnos no supiera encontrar el conjunto
$$A=\{\frac{1}{n}+(-1)^n : n\in \mathbb{N}\},$$
de modo que, aunque dedicamos un buen rato a trabajar el problema, he pensado que no estaría mal que se escribiera con detalle.
¿Alguien se anima?
Voy a intentar aportar algo:
ResponderEliminarEl conjunto $$A=\{\frac{1}{n}+(-1)^n : n \in \mathbb{N}\}$$, son los términos de una sucesión donde:
-Los términos impares convergen a -1.
-Los términos pares convergen a 1.
Teniendo esto en cuenta planteamos el problema:
A) $d[1,A]$ = 0
Si fuera $d[1,A]$ > 0, entonces existiría algún $n_{0}$ $\in$ $\mathbb{N}$, tal que, para cada n > $n_{0}$ la distancia $d[\frac{1}{n}+(-1)^n , A]$ < $d[(1, A)]$ debido a que como hemos explicado antes la sucesión anterior tiene una subsucesión convergente a 1.
A) $d[-1,A]$ = 0
El razonamiento es el mismo, tan solo hay que considerar la otra subsucesión que es convergente a -1.
Un detalle a mi comentario anterior, y es que no es para cada n > $n_{0}$ si no para cada n > $n_{0}$ tal que n sea además par. (En el segundo caso tal que sea impar)
ResponderEliminarMuchas gracias Víctor, sólo algunas aclaraciones. Para hacernos una idea más clara de cómo son los elementos de $A$, separando pares e impares:
ResponderEliminar$$a_2=\frac{3}{2}, a_4=\frac{5}{4}, a_5=\frac{6}{5}, \dots,$$
en definitiva se trata de la sucesión $(\frac{1+n}{n})_n$ con $n$ impar, que también se puede expresar como $(\frac{1+2n}{2n})_n$ y que , efectivamente, converge a 1. Algo similar se hace para los términos impares.
Formalmente, lo que expresas en tu demostración de que $d[1,A]=0$, se podría detallar diciendo que para ese $\varepsilon=d[1,A]>0$ que supones existe ... (lo que tú dices) tal que $|\frac{1+n}{n}-1|<\varepsilon=d[1,A]$, en contra de que el ínfimo es $d[1,A]$.
Cómo tú dices, análogamente para el caso restante.
Gracias de nuevo, Víctor.