Otro problema

Vinculado al problema anterior también surgió la pregunta siguiente. De nuevo en $\mathbb{R}$ con la topología usual. Si una sucesión de números reales tiene alguna, o algunas subsucesiones convergentes, ¿cada límite de una subsucesión es adherente a la sucesión (considerada como un subconjunto de $\mathbb{R}$)?

Si alguien tiene una respuesta razonada..., creo que todos le agradeceríamos su publicación.