Viendo que nadie se arriesga a crear una entrada sobre un ejercicio, procedo a compartir lo que he meditado sobre el P.1.14
Lo que yo he pensado es, que si sabemos que $diam (A) = sup \{d(x,y): x, y \in A\}$, y realizando un pequeño gráfico con x + y = 1, podemos ver que el supremo de las distancias es $\sqrt{2}$. Ahora intento demostrar que es el supremo.
Supongamos que el $sup \{d(x,y): x, y \in A\}$ $<$ $\sqrt{2}$
Tomo que x = ($\varepsilon, 1 - \varepsilon$) e y = ($1 - \varepsilon, \varepsilon$), si tomamos $\varepsilon$ como un numero entre 0 y 1 y x e y pertenecen a A.
$d[(x_{1} , y_{1}),(x_{2},y_{2})]$ = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 +(y_{2}-y_{1})^2}$
Sustituyendo los valores tomados de x e y tomados anteriormente, obtenemos que:
$d[(x_{1} , y_{1}),(x_{2},y_{2})]$ = $\sqrt{2(1-2\varepsilon)^2}$
Como hemos supuesto que $0 < \varepsilon < 1$ , llegamos a que el $diam (A) \ge \sqrt{2}$ por lo que llegamos a una contradicción.
Resumiendo, ahora sé que el $diam (A) = \sqrt{2}$ Mi duda está en que no sé si ahora tendría que demostrar si $diam (A) \le \sqrt{2}$, para ver que es $\sqrt{2}$
No sé ni siquiera si lo pensado está bien pensado, pero pensado está y lo dejo para que cualquiera me pueda ayudar.
Un saludo.
Con la ayuda de Miguel he encontrado que mi demostración tiene lagunas. Si sustituyo $\varepsilon$ por $1/2$, me sale 0 la distancia, que no había caído yo. Y esto no es, lógicamente, mayor que $\sqrt{2}$...
ResponderEliminarPero para ello puedo afirmar que x e y son distintos. Por lo que $\varepsilon$ no puede ser 1/2 ya que entonces x e y serían (1/2 , 1/2) los dos, y son iguales si y solo si la distancia es 0, por axioma.
ResponderEliminarpor definición quise decir*
ResponderEliminarMatías, en mi opinión, otra manera de poder explicarlo podría ser, considerar el diámetro como el doble del mínimo radio que tiene que tener una bola abierta para contener ese conjunto (triangulo rectángulo de catetos de longitud 1, sin contar con los lados que es la frontera).
ResponderEliminarDe esta manera, como con esta distancia las bolas son círculos, el menor circulo que contiene al triangulo es la circunferencia circunscrita (aquella que pasa por los tres vértices). Geometricamente, podemos calcular su radio que es la mitad de raíz de 2. Y por tanto, el diámetro vale raíz de 2.
¿Cómo expresarías analíticamente lo del doble del mínimo radio de la bola abierta que contiene ese conjunto? Más o menos lo saco, pero no del todo. Gracias
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ResponderEliminarPongo aquí mi razonamiento: (Siento los comentarios borrados de antes)
ResponderEliminarSi la diagonal perteneciese al conjunto, es claro que el resultado sería $\sqrt{2}$, entonces tenemos que $diam (A) \le \sqrt{2}$ .
Vamos a ver que si consideramos que $diam(A)$ < $\sqrt{2}$ entonces para cualquier diametro, podemos encontrar dos puntos a mayor distancia.
Por ejemplo, sean los puntos $(\varepsilon , 1 - \varepsilon)$ y $(1- \varepsilon, \varepsilon) $ su distancia es:
$d[(\varepsilon , 1 - \varepsilon),(1- \varepsilon, \varepsilon)]$ = $\sqrt{(-1 + 2 * \varepsilon)^2 + (1 -2 * \varepsilon)^2}$= $\sqrt{2 -4 * \varepsilon + 8 * \varepsilon^2}$ = $\sqrt{ (\sqrt{2}- \sqrt{8}* \varepsilon)^2}$= $\sqrt{2}- \sqrt{8}* \varepsilon < \sqrt{2}$
Por otra parte, con los puntos $(\frac{\varepsilon}{2} , 1 - \frac{\varepsilon}{2})$ y $(1- \frac{\varepsilon}{2}, \frac{\varepsilon}{2}) $
La distancia es (Ahorro detalles porque es engorroso escribir en Latex) d = $\sqrt{(-1 + \varepsilon)^2 + (1 - \varepsilon)^2}$ = $\sqrt{2 + 2 * \varepsilon^2 - 4 * \varepsilon}$ =$ \sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{2}*\varepsilon)^2}$ = $\sqrt{2} - \sqrt{2}* \varepsilon < \sqrt{2}$
Podemos ver, que la distancia entre el primer par de puntos es menor que la distancia del segundo (que a su vez es menor que si tomamos $\frac{\varepsilon}{3}$) y por tanto el diametro es $\sqrt{2}$ , ya que si fuera menor, para cualquier número habría dos puntos dentro del conjunto a mayor distancia que ese diametro.
Victor, en tu argumento, en mi opinión falla en que tus puntos tu pertenecen al conjunto A, ya que x+y < 1. Yo, para solucionar este detalle, he puesto los puntos (epsilon, 1-2*epsilon) y el punto (1-2*epsilon, epsilon) y luego veo con un procedimiento similar al tuyo de que para toda distancia menor que raiz de 2, existe un epsilon de tal manera que construyo dos puntos de A cuya distancias es mayor. Y por tanto, el diametro debe ser raíz de 2. (porque en clase ya hemos probado que no puede ser mayor que raiz de 2)
ResponderEliminarAgradezco los interesantes comentarios de todos, empezando por Matías que inició el problema; por supuesto también a Víctor y a Jesús.
ResponderEliminarVíctor, Jesús tiene razón, los puntos que consideras no son del conjunto $A$, son de la diagonal. Esto hay que afinarlo.
Jesús, tu observación es acertada, pero... escribe con detalle como lo arreglas ¿vale?